問題2

$\alpha \gt 0$とする。関数

$$f(x) = 2(x - 1)e^x - ax^2 + 5a$$について，以下の問いに答えよ。ただし，$\;e\;$は自然対数の底とする。 　　　　　(配点 50)

(i) 関数$\;f(x)\;$の導関数を$\;f'(x)\;$とする。方程式$\;f'(x) = 0 \;$を解け。

(ii) 関数$\; f(x)\;$が極小値0をもつような$\; \alpha \;$の値をすべて求めよ。

(iii) 次の不定積分を求めよ。ただし，積分定数は省略してもよい。

$$I = \int(x - 1) e^x dx$$

(iv) $\; a = 2\;$とし，曲線$\; y = f(x)\;$の上の点$\;(0, f(0))\;$における接線を$\; \ell\; $とする。曲線$\; y = f(x)\;$と接線$\; \ell \;$で囲まれた領域の面積$\; S\;$を求めよ。